Operaciones lógicas (página 2)

EJERCICIOS
RESUELTOS

Indicar mediante un visto bueno (√) o una aspa (x)
según las expresiones siguientes sean o no
proposiciones:

1. Quito es la capital de
   Loreto. F
2. Quisiera que me regalen un libro No
   es una proposición.
3. La suma de dos números impares es un
   número par V
4. ¡Señoras y señores! En el
   escenario, el fútbol femenino No es una
   proposición.
5. Existe vida en el planeta Mercurio F
6. Un cubo tiene seis caras. V
7. El planeta Venus, el lucero del
   amanecer. V
8. 17 es divisible por 3 F
9. El Papa Juan Pablo II visitó el Perú en
   1985. V

OPERACIONES
LÓGICAS

Combinando proposiciones simples obtenemos proposiciones
compuestas mediante operaciones
lógicas.

Las principales operaciones lógicas son:
conjunción, disyunción, negación,
condicional y Bicondicional.

A cada una de estas operaciones lógicas le
corresponde una tabla de verdad.

1. p q	p Ù q
   V V V F F V F F	V F F F

2. Conjunción. Dos proposiciones simples p y
   q relacionadas por el conectivo lógico "y" conforman
   la proposición compuesta llamada conjunción, la
   cual se simboliza así: p Ù q.

   p q	p Ú q
   V V V F F V F F	V V V F

3. Disyunción. Dos proposiciones simples p y
   q relacionadas por el conectivo lógico "O" conforman
   la proposición compuesta llamada disyunción, la
   cual se simboliza así: p Ú q.

   ~ p se lee: no
   p

   o también: no es cierto que p

   p	~ p
   V F	F V

4. Negación. Dada una proposición
   simple p, esta puede ser negada y convertirse en otra
   proposición llamada negación de p, la cual se
   simboliza así:

   p q	p Þ q
   V V V F F V F F	V F V V

5. Condicional o Implicativa. Dos proposiciones
   simples p y q relacionadas por el conectivo lógico
   "entonces" conforman la proposición compuesta llamada
   condicional o implicativa, la cual se simboliza así: p
   Þ q:
6. Bicondicional. Dos proposiciones simples p y q
   relacionadas por el conectivo lógico "si y sólo
   si" conforman la proposición compuesta llamada
   conjunción, la cual se simboliza así: p
   « q.

FÓRMULA
LÓGICA

Una fórmula lógica
es la representación simbólica de una
proposición compuesta, las cuales están conformadas
por proposiciones simples, conectivos lógicos y signos de
agrupación.

Al evaluar una fórmula se confecciona su tabla de
verdad. Ejemplo:

Se tiene las siguientes proposiciones:

p: Abigail Alcalde Flores gana la partida de
damas.

q: Abigail Alcalde Flores recibe el premio.

Una proposición compuesta empleando p y q
será:

"Si Abigail Alcalde Flores gana la partida entonces
recibe el premio", la cual se representa simbólicamente
así: p Þ q.

Expresiones como: ~ p
Þ ~
q

(p Ú q) Þ ~ q

~ (p Ù q) Û
(~ p Ú q)

reciben el nombre de fórmulas
lógicas.

Al evaluar una Fórmula se confecciona su Tabla de
Verdad.

• Si en esta tabla todos los valores
  de verdad son V, tal fórmula es una
  TAUTOLOGÍA.
• Si en esta tabla todos los valores de
  verdad son F, tal fórmula es una
  CONTRADICCIÓN.
• Si en esta tabla, algunos de los valores de verdad
  son V y otros son F, tal fórmula es una
  CONTINGENCIA.

Al evaluar una fórmula debemos tener en cuenta un
orden en las operaciones lógicas a realizarse. Empezamos
con las operaciones encerradas por los paréntesis
interiores, siguen todas las negaciones y luego se avanza de
izquierda a derecha.

Es recomendable identificar el conectivo principal de la
fórmula que representa la operación final a
realizarse. Si en el interior de un paréntesis alguna
proposición simple esta precedida por una negación,
primero se opera ésta.

He aquí algunos ejemplos resueltos:

1. v v v v v v Desarrollamos (1)
   condicional

   v v f v f f Desarrollamos (2)
   conjunción

   v f v f v f Desarrollamos (3) Bicondicional del
   resultados de

   v f f f v f (1) y (2)

   f v v v v v

   f v f v f f

   f f v v f f

   f f f v f f

   (1) (3) (1)

2. p q r ( p Þ q )
   Û ( q Ù r )

   v v f v v v Desarrollamos (1)
   conjunción

   v f v v v v (2) después de haber negado
   (1)

   f v v f v v Desarrollamos (3)
   disyunción

   f v v f f f Desarrollamos (4) condicional del
   resultado de

   (2) (1) (4) (3) (2) y (3)

   EJERCICIO POR
   RESOLVER

   Evaluar las siguientes fórmulas
   lógicas y establecer si se trata de Tautología,
   Contradicción o Contingencia.

3. p q ~ ( p Ù q ) Þ
   ( p Ú q )
4. ~ ( p Û q ) Û
   ( ~ p Û ~ q
   )
5. ~ [ ~ p Ù q ]
   Þ q
6. ( p Þ q )
   Ù ( ~ p Ú q
   )
7. ~ ( p Ù q ) Þ
   [ ( p Ú r ) Þ
   q ]
8. [ (~ p) Ù
   (~ r) ]
   Þ q
9. [ ( p Ú q ) Þ
   ~ p ]
   Ù p
10. ( p Ù q )
    Þ ( p Þ q )
11. [ (p Ú q) Þ
    q] Û q
12. ( ~ p Þ q ) Û
    ( q Ù r )
13. ( p Û r )
    Ù ( p Þ q)

CUANTIFICADORES

Es convertir en un enunciado abierto en
proposición.

Enunciado abierto.-

• Es aquel enunciado (frase u oración) que
  incluye una o varias variables, y
  de acuerdo a la que emplee podrá ser falso o
  verdadero.
• Es aquella expresión que tiene al menos una
  variable la que al ser reemplazada por constantes transforma el
  enunciado abierto en una proposición.
• Si empleamos x como variable, un enunciado abierto se
  representa así: p(x), lo que leemos como " p de x
  ".

Ejemplo:

Sea el enunciado abierto:

P(x) = "x +1 es un número múltiplo de 2
"

Ahora damos valores a x:

• Si x = 3, P (3) = 3 + 1 = 4 "4 es múltiplo de
  2", proposición verdadera.
• Si x = 4, P (4) = 4 + 1 = 5 "5 es múltiplo de
  2", proposición falsa.
• Si x = 5, P (5) = 5 + 1 = 6 "6 es múltiplo de
  2", proposición verdadera.

Al enunciado abierto también se le llama
Función Proposicional.

Existen dos tipos de cuantificadores:

• Cuantificador Universal

El enunciado abierto es p(x): "x + 1 es un número
múltiplo de 2 "; si cuantificamos universalmente
escribimos:

• " todo x + 1 es un número múltiplo de
  2 "
• " para todo x + 1 es un número
  múltiplo de 2 "
• " para cualquier x + 1 es un número
  múltiplo de 2 "

Esta ya es una proposición pero FALSA porque hay
números x + 1 que no necesariamente son múltiplos
de 2.

" significa
"para todo", "todo" o "para cualquier"

• Cuantificador Existencial

El enunciado abierto es p(x): "x + 1 es un número
múltiplo de 2 "; si cuantificamos existencialmente
escribimos:

• " Existe por lo menos un número x + 1 es un
  múltiplo de 2 "

Esta ya es una proposición aunque ahora si
VERDADERA porque por lo menos existe un número que
reemplazado por x en x + 1 nos da un múltiplo de
2.

$ significa
"existe por lo menos" o "existe"

PROPOSICIONES LÓGICAS
EQUIVALENTES

Si dos proposiciones p y q tienen tablas de verdad
idénticas entonces podemos afirmar que tales proposiciones
son equivalentes:

Esto se simboliza p º
q

Ejemplo: La proposición compuesta p Þ q es equivalente a la proposición
compuesta.

( ~ p) Ú q

p Þ q
º (~
p) Ú q

Entonces en una fórmula lógica podemos
ahorrar tiempo y
espacio si reemplazamos:

p Þ q º ( ~ p)
Ú q o viceversa.

Las equivalencias lógicas más importantes
son:

1. p Ú p º p
2. p Ú V º V
3. p Ú F º p
4. p Ú q º q Ú
   p
5. p Ú (~ p) º
   V
6. ~ (~ p) º
   p
7. ( p Ú q )
   Ú r º p Ú (
   q Ú r )
8. p Ú ( q Ù r ) º
   ( p Ú q ) Ù ( p Ú r )
9. p Ù p º p
10. ( p Ù q )
    Ù r º p Ù (
    q Ù r )
11. p Ù ( q Ú r ) º
    ( p Ù q ) Ú ( p Ù r )
12. p Ù F º F
13. p Ù V º p
14. p Ù (~ p) º
    F
15. p Ù q º q Ù
    p
16. ~ ( p Ú q ) º
    (~ p) Ù (~
    q)
17. ~ ( p Ù q ) º
    (~ p) Ú (~
    q)
18. p Þ q º (~ p)
    Ú q
19. p Þ q Þ ( ~ q)
    Þ ( ~ p)
20. p Ù ( p Ú q ) º
    p
21. p Ú ( p Ù q ) º
    p
22. p Û q º ( p Þ q
    ) Ù ( q Þ p )
23. p Û q º ( p Ù
    q ) Ú [ ( ~ p )
    Ù ( ~ q ) ]
24. ~ V º F ; ~ F
    º V

PROBLEMAS
PROPUESTOS

1. 1. Los números pares son divisible por
      2.
   2. Los números impares son divisibles por
      2.
   3. La semana tiene 8 días.
   4. Cuan profundo es mi amor.
   5. Mario Vargas Llosa es español.
   6. ¡Tú puedes, no desistas!
   7. Lima, la tres veces coronada ciudad de los
      reyes.
   8. El cuadrado es un
      cuadrilátero.
   9. No todo número primo es impar.
   10. Alberto Fujimori, por qué has llegado
       tarde.
   11. ¡Has ganado una computadora!
   12. El año tiene 12 meses.
   13. Todas las semanas tiene 7
       días.
   14. Alan García Pérez viajo a Roma o
       Brasil.
   15. Si me caso, entonces no seré
       soltero.
   16. No es cierto que la ciudad de Lima está en
       la costa.
   17. El Sol es un astro o el día tiene 24
       horas.
   18. 2 + 3 = 7 ó 22 + 32
       = 52
   19. 6 es mayor que 7, ó 5 es menor que
       8.
   20. El triángulo tiene 3 lados o el cuadrado
       solo 3 lados.
2. Indique cuál de las siguientes expresiones es
   una proposición, si fuera así cual de ellas son
   proposiciones simples y cuales son proposiciones compuestas.
   Señale además su valor de
   verdad correspondiente.

   [ ( ~ p Ú
   ~ q ) Þ ( ~ r
   Ú q ) ] Þ ( p
   Þ ~ r )

3. Sean p, q y r proposiciones tales que p es verdadera
   (v), q es falsa (F) y r es falsa (F). Indique el valor de
   verdad de la proposición:
4. De las siguientes proposiciones ¿Cuáles
   son tautologías?

2. ( p Þ q )
   Þ [
   ( ~ p ) Ú q ]
3. [ ~ ( p Ù q )
   Þ ( ~ q Ù q )
   ] Þ
   p
4. [ ( p Ù q ) Ú ( ~ q )
   ] Þ
   ~ p

1. 1. ( p Û q )
      Þ ( r Ù s )
   2. ( p Ù q )
      Þ ( r Û s )
   3. ~ p Û ( r Ù q )
   4. ~ q Û ( p Ù s )
   5. ~ s Û ( p Ú q )
2. Sabiendo que las proposiciones p y r son proposiciones
   verdaderas y las proposiciones q y s son proposiciones
   falsas; indicar cuantas de las siguientes proposiciones son
   falsas:
   • ( p Ú q
     )
   • ( p Þ q )
     Ù q
   • [ ( p Ú q ) Þ ( p Ù q ) ]
     Û ( p Þ ~ q
     )
   • ( ~ p ) Þ ( p Ú q )
   • ( ~ q ) Û ( p Ù ~ p
     )

    

    

    

   Autor:

   Eddy Rubem Alcalde Rumiche

3. Si se sabe que la proposición p Ù q es verdadera, entonces cuantas de
   las proposiciones dadas son falsas: